Bài 21 — Đại số quan hệ: nền toán học phía sau SQL

🎯 Học xong bài này, bạn sẽ

• Biết SQL không phải một bộ cú pháp do ai đó nghĩ ra cho vui, mà là hiện thực của một hệ toán học có từ năm 1970
• Gọi tên và viết được sáu phép toán cơ bản: chọn σ, chiếu π, hợp ∪, hiệu −, tích Descartes ×, đổi tên ρ
• Gọi tên và viết được ba phép dẫn xuất: giao ∩, kết nối ⋈ (theta / equi / natural), chia ÷
• Hiểu tính khả đóng — lý do bạn lồng được truy vấn này vào trong truy vấn kia
• Đọc một câu SQL và chỉ ra nó đang thực hiện phép đại số nào

🧠 Câu chuyện mở đầu

Bạn học phép cộng, phép nhân từ lớp 1. Đến lớp 6, thầy giáo viết lên bảng: 3 + 5 × 2. Cả lớp biết phải nhân trước, cộng sau. Không ai hỏi "tại sao lại là nhân trước" — vì đó là luật của một hệ thống, và ai cũng đã ngấm luật đó.

Bây giờ nhìn sang câu SQL bạn đã gặp ở Bài 1:

SELECT ho_ten, diem_so FROM diem WHERE mon = 'Toán' ORDER BY diem_so DESC LIMIT 1;

Với hầu hết người mới, câu này giống một câu thần chú: gõ đúng thì chạy, gõ sai thì báo lỗi, và không hiểu vì sao lại phải viết theo thứ tự đó. Người ta học SQL bằng cách học thuộc mẫu câu, rồi thay tên bảng vào.

Học theo lối đó thì làm được việc — nhưng đến lúc truy vấn phức tạp lên, bạn sẽ bí. Bạn sẽ không biết có thể viết cái gì, chỉ biết đã từng thấy người ta viết cái gì.

Nhưng SQL không phải thần chú. Nó có một hệ toán đứng phía sau, giống hệt như phép nhân đứng sau bài toán 3 + 5 × 2. Hệ toán đó có tên, có đúng chín phép toán, và mỗi từ khoá SQL bạn sẽ gặp trong mười một bài còn lại của Cấp 3 đều là một phép trong số đó.

Vậy hệ toán ấy là gì, và biết nó thì giúp được gì?

📖 Khái niệm & thuật ngữ

Codd, năm 1970

Năm 1970, Edgar F. Codd — một nhà toán học làm việc tại IBM — công bố bài báo "A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks". Ý tưởng trung tâm của ông: một bảng dữ liệu chính là một tập hợp trong toán học, nên ta có thể định nghĩa các phép toán trên bảng y như định nghĩa phép hợp, phép giao trên tập hợp.

Hệ phép toán đó gọi là đại số quan hệ (relational algebra): một tập hợp các phép toán nhận quan hệ (relation — tức là bảng, theo cách gọi ở Bài 6) làm đầu vào và trả về một quan hệ mới làm đầu ra.

Vì sao 'đại số'?

Trong toán, đại số là một tập hợp cộng với các phép toán đóng trên tập hợp đó. Đại số số học có tập số và các phép + − × ÷. Đại số quan hệ có tập các quan hệ và chín phép toán bạn sắp học.

Nói cách khác: bảng đối với đại số quan hệ giống như số đối với số học.

Tính khả đóng — điều quan trọng nhất của cả bài

Tính khả đóng (closure property) là tính chất: mọi phép toán của đại số quan hệ đều nhận quan hệ làm đầu vào và trả về quan hệ làm đầu ra.

Nghe thì hiển nhiên, nhưng hệ quả thì rất lớn. Vì đầu ra lại là một quan hệ, nên bạn đem đầu ra của phép này làm đầu vào của phép kia được — không giới hạn số tầng.

Đó chính xác là lý do trong SQL bạn viết được:

• SELECT ... FROM (SELECT ... FROM ...) AS t — truy vấn lồng trong truy vấn (Bài 27)
• WITH b AS (SELECT ...) SELECT ... FROM b — đặt tên cho bước trung gian (Bài 28)
• CREATE VIEW v AS SELECT ... rồi SELECT ... FROM v — dùng truy vấn như một bảng (Bài 30)

Cả ba kỹ thuật đó, cùng với khả năng nối JOIN này vào JOIN kia, đều là cùng một tính chất toán học được nhìn từ ba phía.

So sánh cho dễ nhớ

Phép cộng số nguyên có tính khả đóng: cộng hai số nguyên ra số nguyên, nên viết 1 + 2 + 3 + 4 được.

Phép chia số nguyên không khả đóng: 7 ÷ 2 không còn là số nguyên. Nên trong tập số nguyên, bạn không nối tiếp phép chia thoải mái được.

SQL nối tiếp được thoải mái vì đại số quan hệ khả đóng.

Sáu phép toán cơ bản

Phép toán cơ bản (primitive operation) là phép không định nghĩa được từ các phép khác. Đại số quan hệ có đúng sáu phép như vậy.

Ký hiệu	Tên tiếng Việt	English	Làm gì
σ	Phép chọn	selection	Giữ lại những dòng thoả điều kiện
π	Phép chiếu	projection	Giữ lại những cột được nêu tên
∪	Phép hợp	union	Gộp hai bảng, bỏ dòng trùng
−	Phép hiệu	difference	Lấy dòng có ở bảng này mà không có ở bảng kia
×	Tích Descartes	Cartesian product	Ghép mọi dòng bảng này với mọi dòng bảng kia
ρ	Phép đổi tên	rename	Đặt tên mới cho bảng hoặc cột

Hai phép đầu dễ nhầm, nên hãy khắc sâu bằng hình ảnh: σ cắt ngang, π cắt dọc.

• Phép chọn (selection, ký hiệu σ, đọc là xích-ma) lọc theo dòng. Viết σ_{ma_lop = 'L01'}(hoc_sinh): giữ những dòng có ma_lop bằng L01. Số cột không đổi, số dòng giảm.
• Phép chiếu (projection, ký hiệu π, đọc là pi) lọc theo cột. Viết π_{ho_ten, ma_lop}(hoc_sinh): chỉ giữ hai cột đó. Số dòng có thể giảm — vì kết quả là một tập hợp, mà tập hợp thì không chứa phần tử trùng nhau.

π tự động bỏ trùng, SELECT thì không

Đây là chỗ SQL lệch khỏi đại số quan hệ, và lệch có chủ đích.

Trong toán, π_{ma_lop}(hoc_sinh) trả về đúng 6 giá trị, vì {L01, L01, L01, ...} và {L01} là cùng một tập hợp.

Trong SQL, SELECT ma_lop FROM hoc_sinh trả về 40 dòng. SQL làm việc trên đa tập (multiset, còn gọi là bag) — tức là tập hợp có cho phép trùng lặp. Muốn đúng nghĩa toán học, phải viết SELECT DISTINCT ma_lop FROM hoc_sinh.

Vì sao SQL chọn như vậy? Vì bỏ trùng là thao tác đắt (phải sắp xếp hoặc băm toàn bộ kết quả). Bắt máy làm việc đó ở mọi truy vấn trong khi phần lớn truy vấn không cần thì quá lãng phí. SQL đẩy quyết định đó cho người viết, qua từ khoá DISTINCT.

• Phép hợp (union, ký hiệu ∪) và phép hiệu (difference, ký hiệu −) chỉ dùng được khi hai quan hệ khả hợp (union-compatible): cùng số cột, và các cột tương ứng cùng miền giá trị. Không thể hợp bảng hoc_sinh với bảng sach.
• Tích Descartes (Cartesian product, ký hiệu ×) ghép mỗi dòng bên trái với mọi dòng bên phải. Bảng m dòng nhân bảng n dòng ra m × n dòng. Đây là phép nguy hiểm nhất — Bài 25 sẽ cho thấy nó làm nổ tung một truy vấn như thế nào.
• Phép đổi tên (rename, ký hiệu ρ, đọc là rô) nghe có vẻ thừa, nhưng nó là phép bắt buộc phải có: không có nó thì không viết nổi phép ghép một bảng với chính nó, vì hai bên sẽ trùng hết tên cột.

Ba phép dẫn xuất

Phép dẫn xuất (derived operation) là phép viết lại được bằng các phép cơ bản. Giữ chúng lại vì chúng quá hay dùng.

Ký hiệu	Tên tiếng Việt	English	Định nghĩa qua phép cơ bản
∩	Phép giao	intersection	R ∩ S = R − (R − S)
⋈	Phép kết nối	join	R ⋈_θ S = σ_θ(R × S)
÷	Phép chia	division	Viết được bằng π, × và − — xem khai triển ở dưới

• Phép giao (intersection, ký hiệu ∩) lấy những dòng có mặt ở cả hai quan hệ.
• Phép kết nối (join, ký hiệu ⋈) là tích Descartes rồi lọc ngay. Nó có ba biến thể, và ba tên này sẽ theo bạn suốt đời làm nghề:
  • Kết nối theta (theta join, viết R ⋈_θ S): điều kiện θ là bất kỳ phép so sánh nào — <, >, <>, BETWEEN...
  • Kết nối bằng (equi join): trường hợp riêng của theta, khi điều kiện chỉ gồm các phép so sánh bằng =. Đây là loại chiếm khoảng 95% công việc thực tế.
  • Kết nối tự nhiên (natural join, viết R ⋈ S không ghi điều kiện): là equi join trên mọi cặp cột trùng tên, rồi bỏ bớt cột trùng để không lặp hai lần.

• Phép chia (division, ký hiệu ÷) là phép khó nhất và cũng đẹp nhất. R ÷ S trả lời câu hỏi dạng "tất cả": "những giá trị nào ở R đi kèm với toàn bộ giá trị của S?"

  Ví dụ: "giáo viên nào dạy ở tất cả các lớp khối 8?" Đó chính là phan_cong_day ÷ (danh sách lớp khối 8).

  Khai triển của nó qua các phép cơ bản cần tới ba phép — π, × và − — và đó là lý do nó là phép dài nhất trong cả chín phép. Với R(x, y) và S(y):

  R ÷ S  =  π_x(R)  −  π_x( ( π_x(R) × S )  −  R )
  

  Đọc từ trong ra ngoài: π_x(R) × S là mọi cặp (giá trị x, giá trị y) có thể; trừ đi R thì còn lại những cặp đáng lẽ phải có mà không có; chiếu xuống x thì được danh sách những x thiếu ít nhất một y; lấy toàn bộ x trừ đi danh sách đó, còn lại đúng những x đủ mọi y.

  Đáng chú ý: SQL không có từ khoá cho phép chia. Bạn phải tự dựng nó, bằng GROUP BY ... HAVING count(...) (Bài 26) hoặc bằng NOT EXISTS lồng hai tầng (Bài 27, sắp có).

Bảng thuật ngữ

Tiếng Việt	English	Nghĩa dễ hiểu
Đại số quan hệ	relational algebra	Hệ phép toán nhận bảng làm đầu vào và trả về bảng làm đầu ra — nền toán học của SQL
Tính khả đóng	closure property	Đầu ra của mọi phép cũng là một quan hệ, nên lồng phép này vào phép kia được không giới hạn
Phép chọn	selection (σ)	Giữ lại những dòng thoả điều kiện — cắt ngang
Phép chiếu	projection (π)	Giữ lại những cột được nêu tên, và bỏ dòng trùng — cắt dọc
Phép hợp	union (∪)	Gộp hai quan hệ khả hợp lại, bỏ dòng trùng
Phép hiệu	difference (−)	Lấy những dòng có ở quan hệ trái mà không có ở quan hệ phải
Tích Descartes	Cartesian product (×)	Ghép mọi dòng bên trái với mọi dòng bên phải, cho ra m × n dòng
Phép đổi tên	rename (ρ)	Đặt tên mới cho quan hệ hoặc cột, để ghép một bảng với chính nó
Phép giao	intersection (∩)	Lấy những dòng có mặt ở cả hai quan hệ
Phép kết nối	join (⋈)	Tích Descartes rồi lọc ngay bằng một điều kiện
Kết nối theta	theta join	Kết nối với điều kiện so sánh bất kỳ, không chỉ dấu bằng
Kết nối bằng	equi join	Kết nối mà điều kiện chỉ gồm các phép so sánh bằng
Kết nối tự nhiên	natural join	Equi join tự động trên mọi cột trùng tên, và bỏ bớt cột lặp
Phép chia	division (÷)	Trả lời câu hỏi "giá trị nào đi kèm với toàn bộ một tập cho trước"
Phép toán cơ bản	primitive operation	Phép không định nghĩa được từ các phép khác — đại số quan hệ có sáu phép như vậy
Phép dẫn xuất	derived operation	Phép viết lại được bằng các phép cơ bản, giữ lại vì hay dùng
Khả hợp	union-compatible	Hai quan hệ cùng số cột và các cột tương ứng cùng miền giá trị
Đa tập	multiset	Tập hợp có cho phép phần tử trùng nhau — đây là thứ SQL thật sự làm việc trên

🖼️ Sơ đồ

Tính khả đóng nhìn bằng hình: mỗi phép là một cái hộp, vào là bảng, ra cũng là bảng — nên nối hộp nọ vào hộp kia bao nhiêu tầng cũng được.

flowchart LR
    A["Bảng<br/><b>hoc_sinh</b><br/>40 dòng"] --> S["σ<br/><i>phép chọn</i><br/>ma_lop = L01"]
    S --> B["Bảng<br/>6 dòng"]
    B --> P["π<br/><i>phép chiếu</i><br/>ho_ten"]
    P --> C["Bảng<br/>6 dòng · 1 cột"]
    C --> U["∪<br/><i>phép hợp</i><br/>với tên giáo viên"]
    U --> D["Bảng<br/>kết quả cuối"]

    style A fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0,stroke-width:2px
    style B fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0
    style C fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0
    style D fill:#e8f5e9,stroke:#2e7d32,stroke-width:2px
    style S fill:#fff8e1,stroke:#f9a825,stroke-width:2px
    style P fill:#fff8e1,stroke:#f9a825,stroke-width:2px
    style U fill:#fff8e1,stroke:#f9a825,stroke-width:2px

Sáu phép cơ bản sinh ra ba phép dẫn xuất:

flowchart TB
    subgraph CB["SÁU PHÉP CƠ BẢN"]
        direction LR
        SEL["σ chọn"]
        PRO["π chiếu"]
        UNI["∪ hợp"]
        DIF["− hiệu"]
        CAR["× tích Descartes"]
        REN["ρ đổi tên"]
    end

    subgraph DX["BA PHÉP DẪN XUẤT"]
        direction LR
        INT["∩ giao<br/>= R − (R − S)"]
        JOI["⋈ kết nối<br/>= σ(R × S)"]
        DIV["÷ chia<br/>= câu hỏi <b>tất cả</b>"]
    end

    DIF --> INT
    CAR --> JOI
    SEL --> JOI
    PRO --> DIV
    CAR --> DIV
    DIF --> DIV

    style CB fill:#fff8e1,stroke:#f9a825,stroke-width:2px
    style DX fill:#e8f5e9,stroke:#2e7d32,stroke-width:2px

Còn đây là cách nhớ σ và π — hai phép hay bị lẫn nhất. Chỗ này cố ý không dùng sơ đồ, vì thứ cần diễn đạt là "hàng và cột", mà một cái bảng thì chính là hàng và cột. Ô in đậm là phần được giữ lại.

σ — phép chọn — cắt NGANG. σ_{ma_lop = 'L01'}(hoc_sinh) giữ cả dòng, bỏ cả dòng:

ma_hs	ho_ten	ma_lop
HS001	Nguyễn Văn An	L01	✅ giữ
HS007	Đỗ Văn Hải	L02	❌ bỏ
HS003	Lê Hoàng Cường	L01	✅ giữ

Số cột không đổi, số dòng giảm.

π — phép chiếu — cắt DỌC. π_{ho_ten}(hoc_sinh) giữ cả cột, bỏ cả cột:

ma_hs	ho_ten	ma_lop
HS001	Nguyễn Văn An	L01
HS007	Đỗ Văn Hải	L02
HS003	Lê Hoàng Cường	L01
❌ bỏ	✅ giữ	❌ bỏ

Số dòng có thể giảm (nếu có tên trùng và bạn dùng DISTINCT), số cột giảm chắc chắn.

Mẹo nhớ bằng hình chữ: π có hai chân dọc — nó cắt dọc. σ tròn vo như một nét gạch ngang xoá dòng — nó cắt ngang.

💻 Thực hành

Mỗi phép dưới đây có ba phần: ký hiệu toán, một câu tiếng Việt, và câu SQL chạy thật trên database truong_hoc. Hãy đọc cả ba rồi tự nhủ "à, hai thứ này là một".

1. σ — Phép chọn

Toán: σ_{ma_lop = 'L01'}(hoc_sinh) Tiếng Việt: "Lấy những học sinh thuộc lớp L01."

-- KỲ VỌNG: 6 dòng
SELECT *
FROM hoc_sinh
WHERE ma_lop = 'L01'
ORDER BY ma_hs;

Từ khoá SQL tương ứng với σ là WHERE. Số cột giữ nguyên 6, số dòng giảm từ 40 xuống 6.

2. π — Phép chiếu

Toán: π_{ma_lop}(hoc_sinh) Tiếng Việt: "Lấy tập các mã lớp đang có học sinh."

-- KỲ VỌNG: 6 dòng
SELECT DISTINCT ma_lop
FROM hoc_sinh
ORDER BY ma_lop;

Từ khoá tương ứng với π là danh sách cột sau SELECT, kèm DISTINCT nếu muốn đúng nghĩa toán học. Bỏ DISTINCT đi thì SQL trả về 40 dòng — vì SQL làm việc trên đa tập:

-- KỲ VỌNG: so_dong_khong_distinct = 40
SELECT count(*) AS so_dong_khong_distinct
FROM (SELECT ma_lop FROM hoc_sinh) AS t;

3. ∪ — Phép hợp

Toán: π_{ma_hs}(σ_{ma_lop='L01'}(hoc_sinh)) ∪ π_{ma_hs}(σ_{ma_lop IN ('L01','L02')}(hoc_sinh)) Tiếng Việt: "Gộp danh sách mã học sinh lớp L01 với danh sách mã học sinh lớp L01 và L02."

-- KỲ VỌNG: 12 dòng
SELECT ma_hs FROM hoc_sinh WHERE ma_lop = 'L01'
UNION
SELECT ma_hs FROM hoc_sinh WHERE ma_lop IN ('L01', 'L02')
ORDER BY ma_hs;

Kết quả là 12 chứ không phải 6 + 12 = 18: sáu mã của L01 xuất hiện ở cả hai vế, và UNION bỏ trùng đúng như phép ∪ trong toán.

Nếu bạn không muốn bỏ trùng, SQL cho thêm UNION ALL — đây lại là một chỗ SQL rộng hơn đại số quan hệ:

-- KỲ VỌNG: so_dong = 18
SELECT count(*) AS so_dong
FROM (
    SELECT ma_hs FROM hoc_sinh WHERE ma_lop = 'L01'
    UNION ALL
    SELECT ma_hs FROM hoc_sinh WHERE ma_lop IN ('L01', 'L02')
) AS t;

4. − — Phép hiệu

Toán: π_{ma_gv}(giao_vien) − π_{ma_gvcn}(lop) Tiếng Việt: "Giáo viên nào chưa làm chủ nhiệm lớp nào?"

-- KỲ VỌNG: 3 dòng
SELECT ma_gv FROM giao_vien
EXCEPT
SELECT ma_gvcn FROM lop
ORDER BY ma_gv;

Ba người đó là GV06, GV07, GV08. Từ khoá tương ứng là EXCEPT (một số DBMS khác gọi là MINUS).

Chi tiết đáng nhớ về NULL ở đây

Lớp L06 có ma_gvcn là NULL, nên vế phải của EXCEPT gồm {GV01, GV02, GV03, GV04, GV05, NULL}.

EXCEPT xử lý NULL như một giá trị bình thường: nó chỉ loại đi những mã trùng khớp, còn NULL không trùng với mã giáo viên nào nên không loại ai cả. Kết quả vẫn đúng 3 dòng.

Nhưng nếu viết bằng NOT IN thì kết quả sẽ là 0 dòng — một kết quả sai một cách bí ẩn. Đó là cái bẫy của NULL, và Bài 24 rồi Bài 27 sẽ mổ xẻ nó.

5. × — Tích Descartes

Toán: lop × giao_vien Tiếng Việt: "Ghép mọi lớp với mọi giáo viên."

-- KỲ VỌNG: so_dong = 48
SELECT count(*) AS so_dong
FROM lop CROSS JOIN giao_vien;

6 lớp × 8 giáo viên = 48 dòng. Không có ý nghĩa nghiệp vụ nào, nhưng là nguyên liệu để dựng phép kết nối ở bước sau.

Từ khoá tương ứng là CROSS JOIN — hoặc chỉ cần viết hai bảng cách nhau bằng dấu phẩy trong FROM và quên điều kiện nối. Chính cái "quên" đó là lỗi kinh điển ở Bài 25.

6. ρ — Phép đổi tên

Toán: ρ_{g1}(giao_vien) × ρ_{g2}(giao_vien) Tiếng Việt: "Đặt cho bảng giáo viên hai cái tên tạm để ghép nó với chính nó."

-- KỲ VỌNG: so_cap = 28
SELECT count(*) AS so_cap
FROM giao_vien AS g1
JOIN giao_vien AS g2 ON g1.luong > g2.luong;

Từ khoá tương ứng là AS. Không có g1 và g2, câu này không viết nổi — bạn sẽ không có cách nào phân biệt luong của bên nào với bên nào.

8 giáo viên có 8 mức lương khác nhau, nên số cặp (người lương cao hơn, người lương thấp hơn) đúng bằng số cặp không xếp thứ tự của 8 phần tử: 8 × 7 ÷ 2 = 28.

7. ∩ — Phép giao

Toán: π_{ma_hs}(muon_sach) ∩ π_{ma_hs}(σ_{ma_lop='L01'}(hoc_sinh)) Tiếng Việt: "Học sinh lớp L01 nào đã từng mượn sách?"

-- KỲ VỌNG: 6 dòng
SELECT ma_hs FROM muon_sach
INTERSECT
SELECT ma_hs FROM hoc_sinh WHERE ma_lop = 'L01'
ORDER BY ma_hs;

Cả 6 bạn lớp L01 đều đã mượn sách. Từ khoá tương ứng là INTERSECT.

8. ⋈ — Phép kết nối, ba biến thể

a) Kết nối bằng — điều kiện chỉ có dấu =:

Toán: hoc_sinh ⋈_{hoc_sinh.ma_lop = lop.ma_lop} lop Tiếng Việt: "Mỗi học sinh kèm tên lớp của bạn ấy."

-- KỲ VỌNG: so_dong = 40
SELECT count(*) AS so_dong
FROM hoc_sinh h
JOIN lop l ON h.ma_lop = l.ma_lop;

b) Kết nối tự nhiên — tự tìm cột trùng tên:

Toán: hoc_sinh ⋈ lop Tiếng Việt: "Ghép hai bảng theo mọi cột cùng tên — ở đây chỉ có ma_lop."

-- KỲ VỌNG: so_dong = 40
SELECT count(*) AS so_dong
FROM hoc_sinh NATURAL JOIN lop;

Kết quả giống hệt câu trên, nhưng bảng ra chỉ có một cột ma_lop chứ không phải hai.

c) Kết nối theta — điều kiện là phép so sánh bất kỳ:

Toán: giao_vien ⋈_{g1.luong > g2.luong} giao_vien Tiếng Việt: "Mọi cặp giáo viên mà người thứ nhất lương cao hơn người thứ hai."

Chính là câu 28 dòng ở mục ρ phía trên. Điều kiện là >, không phải =, nên nó là theta join chứ không phải equi join.

9. ÷ — Phép chia

Toán: π_{ma_gv, ma_lop}(phan_cong_day) ÷ π_{ma_lop}(σ_{khoi = 8}(lop)) Tiếng Việt: "Giáo viên nào được phân công dạy ở tất cả các lớp khối 8?"

SQL không có toán tử chia. Cách dựng phổ biến nhất là đếm và so sánh: gom theo giáo viên, đếm xem người đó chạm tới bao nhiêu lớp khối 8, rồi giữ những người chạm đủ cả 3.

-- KỲ VỌNG: 8 dòng
SELECT pc.ma_gv
FROM phan_cong_day pc
JOIN lop l ON l.ma_lop = pc.ma_lop
WHERE l.khoi = 8
GROUP BY pc.ma_gv
HAVING count(DISTINCT pc.ma_lop) = (SELECT count(*) FROM lop WHERE khoi = 8)
ORDER BY pc.ma_gv;

Cả 8 giáo viên đều dạy đủ ba lớp khối 8 (L01, L02, L03).

Bây giờ đổi mẫu số thành toàn bộ 6 lớp của trường:

-- KỲ VỌNG: 0 dòng
SELECT pc.ma_gv
FROM phan_cong_day pc
GROUP BY pc.ma_gv
HAVING count(DISTINCT pc.ma_lop) = (SELECT count(*) FROM lop)
ORDER BY pc.ma_gv;

Không ai cả. Bảng phan_cong_day chỉ phân công cho L01–L04; hai lớp L05 và L06 chưa có ai dạy. Phép chia rất khắt khe: thiếu một phần tử của mẫu số là bị loại.

Chưa hiểu GROUP BY / HAVING cũng không sao

Hai từ khoá đó là nội dung chính của Bài 26. Ở đây bạn chỉ cần thấy một điều: phép chia có tồn tại, và nó phải được dựng bằng tay.

Bảng đối chiếu: phép đại số ↔ từ khoá SQL

Đây là bảng quan trọng nhất của bài. Hãy quay lại tra nó mỗi khi bạn bí ở một bài sau.

Phép đại số	Ký hiệu	Từ khoá SQL	Học kỹ ở bài
Phép chọn	σ	WHERE	Bài 24
Phép chiếu	π	Danh sách cột sau SELECT, kèm DISTINCT	Bài 24
Phép hợp	∪	UNION (và UNION ALL giữ trùng)	Bài này
Phép hiệu	−	EXCEPT	Bài này
Tích Descartes	×	CROSS JOIN, hoặc FROM a, b thiếu điều kiện	Bài 25
Phép đổi tên	ρ	AS	Bài 24
Phép giao	∩	INTERSECT	Bài này
Kết nối theta	⋈_θ	JOIN ... ON <điều kiện bất kỳ>	Bài 25
Kết nối bằng	⋈	JOIN ... ON a.x = b.x, hoặc lối viết gọn USING (x) khi hai bảng cùng tên cột — Bài 25 dạy kỹ	Bài 25
Kết nối tự nhiên	⋈	NATURAL JOIN	Bài 25
Phép chia	÷	(không có) — dựng bằng GROUP BY ... HAVING count(...) hoặc NOT EXISTS lồng đôi	Bài 26, Bài 27
(không có trong đại số)	—	ORDER BY — vì tập hợp không có thứ tự	Bài 24
(không có trong đại số)	—	Hàm tổng hợp COUNT, SUM, AVG	Bài 26

Ba dòng cuối cho thấy: SQL không chỉ là đại số quan hệ. Nó bổ sung thêm thứ tự, hàm tổng hợp, đa tập và NULL — bốn thứ mà lý thuyết gốc không có. Chính bốn thứ bổ sung đó là nơi sinh ra gần hết lỗi của người mới.

⚠️ Lỗi thường gặp

Lỗi 1: Lẫn σ với π

Rất nhiều người nhớ "selection thì chọn cột" — vì tiếng Anh select nghe giống "chọn ra cái mình muốn xem", mà trong SQL SELECT lại đứng trước danh sách cột.

Sự thật ngược lại: σ (selection) làm việc trên DÒNG, và trong SQL nó là WHERE, không phải SELECT. Còn π (projection) làm việc trên CỘT, và nó chính là danh sách cột sau SELECT.

Cách nhớ chắc: chữ π có hai chân dọc — nó cắt dọc, tức cắt cột. Chữ σ tròn vo, nó gạch ngang bỏ bớt dòng.

Lỗi 2: Tưởng SELECT cot đã là phép chiếu

Phép chiếu π luôn bỏ dòng trùng, vì kết quả của nó là một tập hợp.

SELECT ma_lop FROM hoc_sinh cho 40 dòng, trong đó L01 lặp 6 lần. Đó không phải π, đó là phép chiếu của đa tập.

Chỉ SELECT DISTINCT ma_lop FROM hoc_sinh mới đúng là π, và nó cho 6 dòng.

Hệ quả thực tế: khi bạn chiếu bỏ mất cột khoá chính, số dòng có thể thay đổi nếu bạn thêm DISTINCT — và nhiều lỗi báo cáo sai xuất phát từ chỗ này.

Lỗi 3: UNION hai bảng không khả hợp

Phép ∪ đòi hai quan hệ khả hợp: cùng số cột, các cột tương ứng cùng miền giá trị.

SELECT ma_hs, ho_ten FROM hoc_sinh
UNION
SELECT ma_sach FROM sach;

PostgreSQL sẽ báo lỗi vì hai vế không cùng số cột. Sửa bằng cách cho hai vế cùng số cột và cùng kiểu:

-- KỲ VỌNG: so_dong = 60
SELECT count(*) AS so_dong FROM (
    SELECT ho_ten FROM hoc_sinh
    UNION
    SELECT ten_sach FROM sach
) AS t;

40 tên học sinh phân biệt cộng 20 tên sách phân biệt, không có tên nào trùng nhau — ra đúng 60.

Lỗi 4: Quên rằng ⋈ là × rồi mới lọc

R ⋈_θ S = σ_θ(R × S). Về mặt ngữ nghĩa, kết nối luôn là "nhân ra hết rồi vứt bớt".

Nếu bạn viết JOIN mà quên ON, hoặc viết ON 1=1, bạn được nguyên cái tích Descartes. Với hai bảng 40 và 6 dòng thì 240 dòng chẳng sao; với hai bảng 50.000 và 500.000 dòng ở Cấp 4 thì đó là 25 tỉ dòng và máy chủ đứng hình.

(Về mặt thực thi, PostgreSQL gần như không bao giờ nhân ra hết rồi mới lọc — nó có các thuật toán nối thông minh hơn nhiều. Cấp 4 sẽ đọc EXPLAIN để thấy điều đó. Nhưng kết quả thì luôn đúng bằng định nghĩa toán học ở trên.)

Lỗi 5: Tìm từ khoá DIVIDE trong SQL

Không có. Phép chia là phép duy nhất trong chín phép không có từ khoá riêng.

Dấu hiệu nhận ra một bài toán cần phép chia: đề bài có chữ "tất cả", "mọi", "đủ". "Học sinh nào có điểm ở tất cả các môn", "giáo viên nào dạy đủ cả hai học kỳ", "sách nào được mọi lớp khối 9 mượn".

Gặp chữ đó thì nghĩ ngay tới hai khuôn: GROUP BY ... HAVING count(DISTINCT ...) = <tổng số> hoặc NOT EXISTS (… NOT EXISTS …).

✍️ Bài tập

1. Với mỗi câu SQL sau, hãy viết lại bằng ký hiệu đại số quan hệ:

   a. SELECT ho_ten FROM giao_vien WHERE luong > 15000000;

   b. SELECT DISTINCT khoi FROM lop;

   c. SELECT * FROM hoc_sinh h JOIN lop l ON h.ma_lop = l.ma_lop;

2. Ngược lại: viết câu SQL cho biểu thức π_{ten_sach}(σ_{nam_xuat_ban < 1950}(sach)), rồi cho biết nó trả về bao nhiêu dòng trên dữ liệu mẫu.

3. Bảng hoc_sinh có 40 dòng, bảng mon_hoc có 9 dòng. Hỏi:

   a. hoc_sinh × mon_hoc có bao nhiêu dòng?

   b. hoc_sinh × mon_hoc có bao nhiêu cột?

   c. Câu SQL nào tạo ra nó?

4. Giải thích vì sao không có phép ρ (đổi tên) thì không viết nổi truy vấn "tìm mọi cặp học sinh sinh cùng một tháng".

5. Đề bài: "Tìm những học sinh có điểm ở tất cả 9 môn học." Đây là phép nào? Viết câu SQL và cho biết kết quả có bao nhiêu dòng.

Đáp án

Câu 1.

a. π_{ho_ten}(σ_{luong > 15000000}(giao_vien))

Chú ý thứ tự: chọn trước, chiếu sau. Viết ngược lại — σ_{luong > 15000000}(π_{ho_ten}(giao_vien)) — là sai, vì sau khi chiếu chỉ còn cột ho_ten, không còn cột luong để mà lọc nữa.

b. π_{khoi}(lop)

DISTINCT không cần dịch thành gì thêm, vì bản thân π đã bỏ trùng rồi.

c. hoc_sinh ⋈_{hoc_sinh.ma_lop = lop.ma_lop} lop — một kết nối bằng.

Câu 2.

-- KỲ VỌNG: 8 dòng
SELECT DISTINCT ten_sach
FROM sach
WHERE nam_xuat_ban < 1950
ORDER BY ten_sach;

8 dòng. Các cuốn thoả điều kiện là S001 Dế Mèn phiêu lưu ký (1941), S006 Số đỏ (1936), S007 Chí Phèo (1941), S008 Lão Hạc (1943), S009 Tắt đèn (1939), S010 Vang bóng một thời (1940), S016 Không gia đình (1878), S017 Hoàng tử bé (1943).

DISTINCT ở đây không bỏ dòng nào, vì 8 tên sách này vốn đã khác nhau. Nhưng vẫn nên viết, vì biểu thức toán có π thì bản dịch SQL trung thành phải có DISTINCT.

Câu 3.

a. 40 × 9 = 360 dòng.

b. hoc_sinh có 6 cột, mon_hoc có 3 cột → tích có 9 cột. Quy tắc: tích Descartes nhân số dòng nhưng cộng số cột.

c. Câu lệnh:

-- KỲ VỌNG: so_dong = 360
SELECT count(*) AS so_dong
FROM hoc_sinh CROSS JOIN mon_hoc;

Câu 4.

Truy vấn đó phải so sánh bảng hoc_sinh với chính nó — lấy một học sinh ở "bên trái" và một học sinh ở "bên phải", rồi so tháng sinh của hai bên.

Nhưng nếu cả hai bên đều tên là hoc_sinh, thì viết hoc_sinh.ngay_sinh sẽ trỏ vào đâu? Không có cách nào phân biệt. Hệ thống không thể đoán bạn đang nói tới bản sao nào.

Phép ρ giải quyết đúng chuyện đó: ρ_{a}(hoc_sinh) và ρ_{b}(hoc_sinh) tạo ra hai cái tên khác nhau cho cùng một bảng, và từ đó a.ngay_sinh với b.ngay_sinh mới có nghĩa. Trong SQL, ρ chính là AS a và AS b.

Đây là lý do ρ được xếp vào sáu phép cơ bản dù thoạt nhìn nó chẳng "làm" gì với dữ liệu: bỏ nó đi thì một lớp truy vấn hoàn toàn biến mất. Bài 25 gọi kỹ thuật này là SELF JOIN.

Câu 5.

Chữ "tất cả" là dấu hiệu của phép chia ÷. Cụ thể: π_{ma_hs, ma_mon}(diem) ÷ π_{ma_mon}(mon_hoc).

-- KỲ VỌNG: 40 dòng
SELECT d.ma_hs
FROM diem d
GROUP BY d.ma_hs
HAVING count(DISTINCT d.ma_mon) = (SELECT count(*) FROM mon_hoc)
ORDER BY d.ma_hs;

Kết quả: 40 dòng — toàn bộ học sinh của trường. Dữ liệu mẫu cho mỗi học sinh một điểm "Học kỳ" ở cả 9 môn, nên không ai bị thiếu.

Lưu ý count(DISTINCT d.ma_mon) chứ không phải count(*): mỗi học sinh có 12 dòng điểm (9 điểm Học kỳ + 3 điểm 1 tiết), nên count(*) sẽ ra 12 và so với 9 là trượt hết. Phép chia quan tâm tới tập các môn phân biệt, không quan tâm tới số lần.

🔑 Tóm tắt

1. Đại số quan hệ là hệ toán do Codd đặt ra năm 1970, gồm các phép nhận quan hệ làm đầu vào và trả về quan hệ làm đầu ra. SQL là một hiện thực của nó — mỗi từ khoá bạn học ở Cấp 3 đều là một phép trong hệ này.
2. Sáu phép cơ bản: σ chọn dòng (WHERE), π chiếu cột (SELECT DISTINCT), ∪ hợp (UNION), − hiệu (EXCEPT), × tích Descartes (CROSS JOIN), ρ đổi tên (AS). Nhớ σ cắt ngang, π cắt dọc.
3. Ba phép dẫn xuất viết lại được từ sáu phép trên: ∩ giao (INTERSECT), ⋈ kết nối với ba biến thể theta / equi / natural, và ÷ chia — phép duy nhất không có từ khoá SQL, phải dựng bằng GROUP BY ... HAVING count(...) hoặc NOT EXISTS lồng đôi.
4. Tính khả đóng — đầu ra của mọi phép lại là một quan hệ — chính là lý do bạn lồng được truy vấn con, viết được CTE, và dùng được view như một bảng thật.
5. SQL rộng hơn đại số quan hệ ở bốn điểm, và đúng bốn điểm đó sinh ra gần hết lỗi của người mới: SQL dùng đa tập (có trùng lặp) chứ không phải tập hợp, có ORDER BY (tập hợp vốn không có thứ tự), có hàm tổng hợp, và có NULL cùng logic ba giá trị.

---

⬅️ Bài 20 — Phi chuẩn hoá — khi nào nên phá luật · ➡️ Bài 22 — DDL: CREATE, ALTER, DROP và các kiểu dữ liệu